I POMODORI DEL NONNO FRA RETTE E PARABOLE

E’ vero che più la produzione di un qualsiasi bene aumenta e più aumentano i profitti?

Mio nonno che, quando era in vita, faceva l’agricoltore era convinto di questa teoria.

Infatti ricordo ancora oggi quando affermava: “quest’anno ho intenzione di piantare più pomodori nel mio terreno in modo tale da poter guadagnare di più dell’anno scorso vendendoli al mercato”.

Proviamo allora a modellizzare matematicamente questa sua convinzione per capire se avesse veramente ragione.

Facciamo alcune considerazioni:

Sia q la quantità di pomodoro prodotta, c il costo per un kilogrammo di pomodoro prodotto e p il prezzo di vendita. Sappiamo che il ricavo è dato dal prodotto della quantità per il prezzo, R=pq mentre il profitto P è dato dalla differenza tra il ricavo ed il costo totale che si ottiene in modo simile come C=cq (prodotto del costo al kilogrammo per la quantità di pomodoro prodotto), quindi

P=R-C=pq-cq=(p-c)q

Seguendo il ragionamento del nonno, se il prezzo di vendita è maggiore del costo unitario di produzione, cioè p>c, allora il profitto aumenterà quanto più aumenterà la quantità di pomodori da lui prodotta.

In realtà, il nonno non teneva conto di una semplice cosa: il comportamento dei consumatori. Lui dava per scontato che tutto il pomodoro prodotto poi riuscisse a venderlo al mercato.

Non sempre i consumatori saranno disposti ad acquistare tutto il pomodoro del nonno ed al prezzo da lui preteso. Allora a questo punto, pur di non riportarsi il pomodoro a casa sarà costretto ad abbassarne il prezzo.

Nella realtà, ciò significa che il prezzo dipende dalla quantità ed è una funzione decrescente di essa. Tale funzione può essere rappresentata con una retta di equazione p = - bq + a, dove a è l’intersezione della retta con l’asse dei prezzi e b è la sua pendenza. 

Dunque, nella realtà, il ricavo diventa R=pq=(-bq+a)q e di conseguenza il profitto sarà:

P=R-C=(-bq+a)q-cq=-bq²+(a-c)q

che altro non è che l’equazione di una parabola, il cui grafico è quello rappresentato di seguito.

Si tratta di una parabola concava con un punto di massimo profitto nel suo vertice.

Ci si rende conto che i profitti sono nulli non solo quando il nonno non produce nulla (q=0) ma anche quando produce troppo ((a-c)/b).

Mentre il massimo profitto del nonno è proprio a metà fra questi due valori di produzione.

Guardando quindi il grafico sopra riportato si capisce che il nonno guadagnerà di più se produce meno pomodori di (a-c)/2b mentre oltre questo valore di produzione i suoi profitti caleranno e sarebbe il caso che il nonno distruggesse il pomodoro in eccesso ma, sono sincero, se lui fosse ancora in vita non credo proprio che avrei avuto il coraggio di dirglielo.

Quanto riportato nell’articolo, dedicato soprattutto alle terze classi del liceo scientifico per quanto riguarda la conoscenza di argomenti di Geometria Analitica, è solo un invito a riflettere ed eventualmente a commentare su come la matematica possa interpretare la realtà.